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Une quantité de -2 objets, un marathonien arrivant en -3ème position, des nombres plus petits que rien ? ! Que signifient les nombres négatifs ?

La réponse à cette question n’est simple que si l’on est habitué à leur utilisation. Et pour la plupart d’entre nous, peu importe ce qu’ils sont réellement ou ce qu’ils signifient, le fait est que ces nombres sont pour nous bien pratiques !

Toutefois, pour les géomètres de la Grèce antique, aussi bien que pour les mathématiciens arabes et mêmes indiens – alors que ces derniers comprenaient déjà la signification du zéro et des nombres négatifs -, les solutions négatives d’une équation sont considérées comme contre-natures, absurdes même selon les termes de Nicolas Chuquet (~1450-1488) et ne seront véritablement acceptées qu’aux XIX et XXème siècles ! Tellement utiles, mais aussi très problématiques…

Nous allons voir que leur sens est plus subtil que l’on croit, et qu’il est éclairant de le baser sur la distinction entre nombres ordinaux et cardinaux que nous avons abordée dans le chapitre précédent sur les nombres entiers naturels.

Les nombres ordinaux… relatifs

Une première approche des nombres relatifs peut être inspirée du concept de nombre entier naturel ordinal. Nous avons vu qu’un ordinal naturel n’était en fin de compte qu’un ensemble muni d’un certain ordre. D’un bon ordre pour être précis. On dit qu’un ensemble est bien ordonné si tout sous-ensemble possède un plus petit élément. En effet, tout ensemble d’entiers naturels possède un plus petit élément, et l’ensemble de tous les entiers naturels possède zéro pour plus petit élément.

D’une certaine manière, on ordonne une infinité d’éléments “dans un sens” en partant d’un élément privilégié.

Construisons les nombres relatifs en ordonnant “dans deux sens” à partir d’un élément privilégie.

Commençons par nous rappeler du principe de construction des nombres entiers ordinaux que nous avons vu dans le chapitre précédent, utilisant les concepts de la théorie des ensembles.

Tout d’abord, on nomme “nombre ordinal 0” l’ensemble vide noté \color{red}{\varnothing}.

Le nombre ordinal suivant, 1, est l’ensemble des parties de \color{red}{\varnothing}, c’est à dire l’ensemble \color{red}{\{\varnothing\}} qui ne contient que \color{red}{\varnothing}.

Le nombre ordinal suivant, 2, est l’ensemble des parties de \color{red}{\{\varnothing\}}, c’est à dire \color{red}{\{\varnothing,\{\varnothing\}\}}. Il contient “0” l’ensemble vide \color{red}{\varnothing} et “1” l’ensemble de ses parties \color{red}{\{\varnothing\}}.

Et on continue, l’ordinal suivant, 3, est \color{red}{\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}}.

Etc.

Pourquoi avoir coloré les accolades, et les nombres ainsi définis d’une couleur rouge ? Et bien car nous allons réitérer une seconde fois cette construction, et la couleur nous permettra de différencier les nombres ainsi formés. Recommençons donc avec la couleur bleue par exemple :

Cette fois, nous allons définir le nombre ordinal précédent 0 de la même manière. Ainsi 1, est l’ensemble des parties de \color{blue}{\varnothing}, c’est à dire l’ensemble \color{blue}{\{\varnothing\}} qui ne contient que \color{blue}{\varnothing}.

Le nombre ordinal précédent, 2, est l’ensemble des parties de \color{blue}{\{\varnothing\}}, c’est à dire \color{blue}{\{\varnothing,\{\varnothing\}\}}. Il contient “0” l’ensemble vide \color{blue}{\varnothing} et “1” l’ensemble de ses parties \color{blue}{\{\varnothing\}}.

Et on continue, l’ordinal précédent, 3, est \color{blue}{\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}}.

Etc.

Nous avons construit en rouge les successeurs de zéro et en bleu ses prédécesseurs. Il reste à définir formellement l’ordre de nos nombres colorés, car toute propriété qui nous semble “évidente” pourrait nous mener à des surprises. Un nombre bleu est toujours plus petit qu’un nombre rouge, et deux nombres rouges sont ordonnés “du plus petit au plus grand”, alors que deux nombres bleus sont ordonnés “du plus grand au plus petit” ¹. Tout va bien, nous avons un ordre sur tous les nombres, mais remarquez qu’il n’y a pas de plus petit nombre coloré pour cet ordre…

Les nombres bleus que nous avons ajoutés représentent bien sûr les nombres négatifs. Soit. Mais alors que signifient-ils ?

En lieu et place de la dfférence de couleur, nous aurions aussi bien pu utiliser d’autres symboles, comme par exemple les nombres romains. Nous aurions alors la suite

Poussons un peu plus loin notre imagination, nous pourrions utiliser des symboles quelconques pour les désigner, par exemple un mélange de chiffres de plusieurs langues

Notre repère (le zéro) étant le “ballon de rugby” du centre (C’est le zéro Maya). On pourrait même utiliser des symboles n’ayant aucun rapport avec la numération, ou des objets quelconques, précédent et suivant un objet central… Bref, en plus de l’ordre, l’information principale à retenir de ce jeu d’abstraction est le rôle central (littéralement !) d’un élément particulier : le zéro. Peu importe la nature des symboles utilisés ou même des objets auxquels ils font référence.

D’une certaine manière on ordonne une infinité d’éléments “dans les deux sens” en partant d’un élément quelconque.

Voilà pourquoi parler d’un marathonien qui arrive en -3 ème position n’a pas de sens ! Parce que nous n’ordonnons les coureurs que “dans un sens” !

Remarquons que le chiffre 0 n’est attribué à aucun coureur. C’est une convention, cela ne poserait aucun problème d’utiliser le zéro, si ce n’est que les podiums seraient différents :

Essayons maintenant d’ordonner les coureurs d’un marathon “dans les deux sens”. Cela signifie que l’on doit ordonner à partir d’un coureur quelconque, et non plus de l’arrivée.

On ne voit pas trop l’intérêt d’un tel ordre relatif, car l’ordre d’un marathon ne nous intéresse que s’il possède un plus petit élément, un vainqueur…

A moins de considérer cette position relative comme un nombre de points marqués en fonction d’un coureur (qui serait le repère 0) par exemple. Pourquoi pas ?

Pourtant c’est exactement le même principe lorsque l’on ordonne (sans les dénombrer) les révolutions de la Terre autour du Soleil, et on voit dans ce cas tout l’intérêt des nombres relatifs : comme il nous est impossible d’ordonner ces révolutions à partir de la première (quand a eu lieu sa première révolution ? puisque la planète s’est formée progressivement, nous ne pouvons pas répondre à cette question), nous avons choisi un évènement particulier comme repère (zéro), et nous nous sommes mis d’accord pour classer les années à partir de cet évènement… enfin presque. Il existe des calendriers fondés sur un évènement différent (Egyptien, Persan, Romain, Gregorien, etc.), voire n’utilisant pas les années solaires (calendrier lunaire Musulman, luni-solaire Hébreu ou Chinois, etc.). Mais tous sont relatifs à la date d’un évènement repère. Voici trois exemples ³ :

Les nombres cardinaux… relatifs

On peut imaginer une situation où arriver en -3ème position a un sens, comme dans la “course des années”, mais qu’en est-il du dénombrement, des quantités négatives ? Et bien c’est un peu plus subtil.

Dans un premier temps, tout comme le concept de nombre entier naturel ordinal peut être construit plusieurs fois, celui de nombre entier naturel cardinal aussi. Essayons donc d’abord de généraliser la cardinalité de cette façon.

Rappelons-nous que l’on définit les cardinaux à l’aide des ordinaux :

Le nombre cardinal 0 est le nombre d’éléments de \color{red}{\varnothing} l’ordinal 0.

Le nombre cardinal 1 est le nombre d’éléments de \color{red}{\{\varnothing\}} l’ordinal 1.

Le nombre cardinal 2 est le nombre d’éléments de \color{red}{\{\varnothing,\{\varnothing\}\}} l’ordinal 2.

etc.

Recommençons avec la couleur bleue :

Le nombre cardinal 0 est le nombre d’éléments de \color{blue}{\varnothing} l’ordinal 0.

Le nombre cardinal 1 est le nombre d’éléments de \color{blue}{\{\varnothing\}} l’ordinal 1.

Le nombre cardinal 2 est le nombre d’éléments de \color{blue}{\{\varnothing,\{\varnothing\}\}} l’ordinal 2.

etc.

Ainsi nous dénombrons non plus une mais deux quantités. Mais ces deux quantités peuvent être complètement distinctes et sans rapports, par exemple le nombre de marathoniens arrivés avant un instant donné (nombres rouges), et le nombre de pièces contenues dans votre porte-monnaie à l’instant ou vous lisez ces lignes (nombre bleu)… Ce qui, nous sommes d’accord n’a pas grand intérêt. Mais nous allons voir que l’on peut donner un sens à l’arithmétique sur ces quantités, par la comparaison.

Affirmer avoir -2 pommes n’a pas de sens si nous ne dénombrons que le nombre de pommes présentes. Pour qu’une telle quantité négative ait un sens, il faut dénombrer les pommes en même temps que, par exemple des agrafes. Ainsi dire que l’on a -2 pommes revient à dire que l’on a deux agrafes de plus que de pommes… Nous effectuons une comparaison, un dénombrement relatif.

Il est plus intéressant de dénombrer deux quantités liées, voire même directement “opposées” comme par exemple le nombre de marathoniens arrivés à un instant donné (nombres rouges) et le nombre de ceux qui ne sont pas encore arrivés (nombres bleus), indépendamment de l’ordre (c’est ce qui les différencie des nombres ordinaux). En particulier, ce qui nous intéresse est de comparer le nombre de coureurs arrivés relativement au nombre de coureurs encore en piste. Nous reviendrons sur ce point avec l’arithmétique des cardinaux. Voyons déjà celle des ordinaux.

L’arithmétique des nombres ordinaux relatifs

Nous avons vu dans l’article sur les nombres entiers naturels que l’addition est l’opération de prédilection pour ces nombres.

Ajouter un ordinal revient à “avancer” dans le classement. Ceci est bien sûr toujours valable pour les nombres relatifs, mais nous pouvons maintenant définir une nouvelle opération : la soustraction.

Soustraire un ordinal revient à “reculer” dans le classement. En effet, à tout ordre (par exemple \leq) peut être associé un ordre inverse (avec notre exemple \geq) et soustraire, c’est “avancer pour l’ordre inverse” ! C’est donc l’opération inverse de l’addition.

Puisque ces opérations sont inverses, soustraire un nombre puis ajouter ce même nombre (et inversement) annule l’opération. Avancer de deux pas puis reculer de deux pas dans une même direction nous fait retourner à notre point de départ. Avec notre notation colorée, 1+1=0. De même 2+2=0 et plus généralement x+x=0 pour tout entier naturel x.

Attention, ne vous laissez pas surprendre par cette notation ! Rappelons nous que les nombres bleus sont les négatifs que nous connaissons bien, donc nous n’avons rien écrit d’absurde, seulement que 1-1=0, 2-2=0, etc.

En notation ensembliste, cela veut dire que les ensembles bleus et rouges identiques s’annulent. Tout comme la matière et l’antimatière, ils s’annihilent !

Par exemple, \color{black}{\{}\color{red}{\varnothing}\color{black}{,}\color{blue}{\varnothing}\color{black}{\}}\color{black}{=\{\}=}\varnothing et \color{black}{\{}\color{red}{\{\varnothing\}}\color{black}{,}\color{blue}{\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}}\color{black}{\}=\{}\color{blue}{\{\varnothing,\{\varnothing\}\}}\color{black}{\}}.

Ajouter deux nombres revient à se déplacer sur notre axe ⁴. Nous partons de la position d’un des deux nombres et nous “avancons” dans le classement (vers la droite) si le second est rouge, alors que nous “reculons” dans le classement (vers la gauche) si le second nombre est bleu. Soustraire, c’est donc ajouter un nombre bleu.

Remarquons que les ordinaux se fichent bien de la nature des objets que l’on ordonne, ainsi nous pouvons ajouter (ou soustraire) des vaches et des cochons puisque nous ne parlons pas de leur nombre, mais seulement de leur position, nous ne faisons que les ordonner !

L’addition et la soustraction de deux ordinaux relatifs semble intuitive, mais qu’en est-il de la multiplication ? Et bien elle se comporte comme dans le cas des ordinaux naturels : on réitère l’opération. A ceci près que leurs couleurs relatives vont indiquer le sens de l’opération.

Multiplier deux nombres a et b de même couleur revient à se déplacer a fois de b crans (ou b fois de a crans) vers la droite à partir de zéro.

Multiplier deux nombres a et b de couleurs différentes revient à se déplacer a fois de b crans (ou b fois de a crans) vers la gauche à partir de zéro.

2x3 ou 2x3

2x3 ou 2x3

Selon ce schéma, la simplification pour l’addition de 5 avec 5 par exemple, se représente ainsi :

5+5=0

C’est cette relation d’inversion de l’ordre inhérente aux ordinaux, et le fait qu’il n’existe pas de plus petit élément (ce n’est pas un bon ordre comme pour les entiers naturels), qui lient les ordinaux rouges (nombres positifs) aux ordinaux bleus (nombres negatifs).

L’arithmétique des nombres cardinaux relatifs

Ajouter deux nombres cardinaux naturels revient à “fusionner” le contenu des deux quantités. Mais qu’en est-il des nombres relatifs ?

Nous comptons la “différence” entre deux quantités d’objets ⁵. Par exemple le nombre de pommes et de balles de baseball : s’il y a autant des deux objets, nous disons que le nombre des premiers relativement aux seconds est 0. S’il y a plus de balles, la différence est positive, s’il y a plus de pommes la différence est négative.

Nous avons ainsi la même règle d’annulation qu’avec les ordinaux (encore heureux !) : x+x=0 pour tout entier naturel x. Cela correspond au cas où nous avons x pommes et x balles.

Compter relativement, c’est dénombrer la différence entre deux ensembles. Reprenons l’exemple des balles de baseball et des pommes, qui sont deux types d’objets complètement différents. Comptons les balles en rouge et les pommes en bleu.

Ainsi

4 balles et 6 pommes

est équivalent à

2 pommes

C’est donc ici que se situe la subtilité des nombres relatifs. Il s’agit non pas de dénombrer deux quantités distinctes en même temps, mais de dénombrer une seule quantité qui caractérise les deux. Ou plutôt qui caractérise l’une relativement à l’autre, c’est bien de là que vient le terme de nombre relatif.

Un nombre cardinal relatif représente donc tous les couples de quantités ayant une même différence, et un nombre négatif représente la différence opposée :

Situations de cardinal relatif -1 ou 1

Situations de cardinal relatif 0

Situations de cardinal relatif 1 ou 1

Multiplier deux cardinaux relatifs fonctionne comme pour l’addition, avec des “règles de couleur”. C’est un peu étrange à première vue puisqu’en multipliant un nombre de balles par un nombre de balles, on obtient un nombre de balles, d’accord, mais en multipliant un nombre de pommes par un nombre de pommes on obtient des balles ! Qu’est-ce que c’est que ce délire ?

Et bien c’est simplement un peu plus subtil de multiplier des cardinaux que des ordinaux, à cause de la “relation d’équivalence”. Une façon de le comprendre est de voir qu’en réalité on ne multiplie pas des balles avec des pommes, mais une différence entre balles et pommes avec une autre différence entre balles et pommes.

Voici un bon exercice : essayez de définir l’opération de multiplication correcte entre entiers relatifs cardinaux, en utilisant la représentation donnée en note 5.

Conclusion

Ainsi nous avons vu que les nombres relatifs répondent à deux besoins : celui d’ordonner deux ensembles dans “deux sens opposés” et de dénombrer la “différence” d’une quantité relativement à une autre.

Avec cette distinction, les nombres négatifs prennent alors deux sens bien différents : ce sont d’une part les nombres qui précèdent zéro en prolongeant l’ordre des entiers naturels, et ce sont également des classes de différences de quantités.

Autres articles sur le thème «Qu’est-ce qu’un nombre ?»

Episode 1 : les nombres entiers naturels

Episode 2 : les nombres entiers relatifs

Episode 3 : les nombres rationnels

Episode 4 : les nombres transfinis

Notes :

1. Plus rigoureusement, l’ordre est défini ainsi : l’ensemble \{0,1\}\times\mathbb N est muni de l’ordre total (qui n’est pas un bon ordre) (a,b)\leq_{\mathbb Z}(a^\prime,b^\prime) \Longleftrightarrow a\lneq a^\prime ou (a=a^\prime=1 et b\leq b^\prime) ou (a=a^\prime=0 et b\geq b^\prime). Les nombres négatifs, ou bleus, sont les couples (0, b), b\in\mathbb N, tandis que les nombres positifs, ou rouges, sont les couples (1,b), b\in\mathbb N.

2. Les chiffres utilisés sont, dans l’ordre, le 7 en Thaï, le 6 en Latin, 5 en Hébreu, 4 en Persan, 3 en Tamoul, 2 en Coréen, 1 en Gurumukhi, 0 en Maya, 1 en Bengali, 2 en Arabe, 3 en Japonais, 4 en Chinois, 5 en Devanagari, 6 en Panjabi et 7 en Népalais. Les symboles sont issus de Wikipédia.

3. Les dates proviennent du convertisseur de calendriers du Fourmilab, décrit en détail sur le site Fourmilab (ne pas confondre avec le laboratoire Fermilab aux Etats-Unis).

4. Cette description de l’addition est volontairement visuelle, à défaut d’être rigoureuse. En réalité, additionner deux nombres ordinaux consiste à construire un nouvel ensemble (qui est la réunion des deux ensembles de départ, conformément à l’identification cardinaux/ordinaux des nombres finis). Prenons par exemple les ordinaux relatifs 2 et 3 qui sont, respectivement, \{\color{red}{\varnothing,\{\varnothing\}} \color{black}{\}} et \{\color{blue}{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}} \color{black}{\}}. Les puristes remplaceront les couleurs par la considération du produit cartésien muni de l’ordre adapté de la note 1.

La somme des deux ordinaux sera donc \{\color{red}{\varnothing},\color{red}{\{\varnothing\}}\color{black}{,}\color{blue}{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}}\color{black}{\}} qui est, après simplification, \{\color{blue}{\{\varnothing,\{\varnothing\}\}}\color{black}{\}} équivalent (à isomorphisme près) à \{\color{blue}{\varnothing}\color{black}{\}} c’est-à-dire l’ordinal 1.

5. Plus précisément, les cardinaux relatifs peuvent être vus comme des couples de cardinaux naturels, munis d’une relation d’équivalence. Un nombre relatif est donc l’ensemble des couples \color{black}{(}\color{blue}{x}\color{black}{,}\color{red}{y}\color{black}{)} équivalents pour la relation d’équivalence \sim suivante :

\color{black}{(}\color{blue}{x}\color{black}{,}\color{red}{y}\color{black}{)} \sim \color{black}{(}\color{blue}{x^\prime}\color{black}{,}\color{red}{y^\prime}\color{black}{)} si et seulement si \color{blue}{x}\color{black}{+}\color{blue}{x^\prime}\color{black}{=}\color{red}{y}\color{black}{+}\color{red}{y^\prime}.

Bien sûr cela revient à dire que \color{blue}{x}\color{black}{-}\color{red}{y}\color{black}{=}\color{blue}{x^\prime}\color{black}{-}\color{red}{y^\prime}. Notons que les couleurs ne sont pas nécessaires, mais nous les avons laissées pour que le lien avec notre notation soit clair.

Au final, nous avons pour les initiés une définition des nombres relatifs \mathbb Z comme l’ensemble quotient ^{\mathbb N\times\mathbb N}\diagup_{\sim}.