Niveau de difficulté    

« L’éternité, c’est long. Surtout vers la fin. »

Qu’est-ce que l’infini ? Comment concevoir un concept par définition tellement immense que rien ne peut le contenir ?
Aussi surprenant que cela puisse paraître, la réponse n’est pas philosophique mais belle et bien mathématique.
Nous verrons qu’il est possible de définir l’infini de façon rigoureuse et consistante.
Nous verrons même qu’il existe de nombreux infinis différents : en fait il existe une infinité d’infinis différents !
Trois notions d’infinis jouent un rôle particulièrement important en mathématiques :
l’infini ordinal défini comme nombre plus grand que tous les nombres entiers, l’infini cardinal comme nombre d’éléments d’un ensemble infini, et enfin l’infini de l’analyse et des limites défini comme un point inatteignable.

Toutefois cette dernière notion d’infini est trompeuse, elle est plutôt liée au concept d’illimité, bien distinct de l’infini en réalité comme nous l’on appris Riemann et Einstein.
Bien sûr cela ne s’arrête pas là, et l’imagination des mathématiciens permet de concevoir bien d’autres notions d’infini, montrant ainsi que si les possibilités de l’esprit humain ne sont pas infinies, elles sont en revanche sans limite.

Plus grands que l’infini : les nombres transfinis ordinaux

Nous avons vu dans le premier volet de cette série sur les nombres qu’ils peuvent être définis de deux façons bien distinctes. La notion de nombre ordinal est fondamentalement issue de celle d’ordre. Les nombres ordinaux “se suivent” et c’est cet ordre qui les défini. Le chiffre 0 est suivi du chiffre 1, lui-même suivi du chiffre 2, etc.

Le problème qui se pose lorsque l’on souhaite définir de cette façon l’infini ordinal est donc le suivant : Quel nombre suit-il ? La réponse est : tous. Il suit tous les nombres entiers.

Il nous faut oublier le concept de nombre et ne considérer que les objets fondamentaux que nous avons utilisé pour les définir : les ensembles. De la même manière que le chiffre 0 représente l’ensemble vide \{\}, le chiffre 1 l’ensemble qui le contient, i.e. \{\{\}\}, le 2 celui contenant les deux précédents \{\{\},\{\{\}\}\}, etc. Chaque ensemble contenant les précédents. Le premier infini ordinal sera l’ensemble contenant tous les ensembles que représentent les nombres entiers.

L’infini ordinal est noté \omega et est donc définit ainsi : \omega=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},\cdots\}.

Représentation visuelle du premier ordinal transfini \omega, l’ensemble des ordinaux finis. Bien sûr impossible de tous les représenter, d’où les points de suspension.

Bien entendu, ce procédé peut être itéré… à l’infini ! On obtient ainsi une infinité d’ordinaux transfinis :

Le suivant est noté \omega+1 et on a \omega+1=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},\cdots,\omega\}

Ensuite \omega+2=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},\cdots,\omega,\omega+1\}

etc.

Cela fait beaucoup d’infinis, non ? Et bien vous n’avez encore rien vu, puisque l’on peut définir un ensemble contenant tous les ordinaux finis et transfinis déjà présentés :

On a alors ensuite le transfini noté \omega\cdot 2 qui est aussi \omega+\omega. Il contient tous les précédents \omega\cdot 2=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},\cdots,\omega,\omega+1,\omega+2,\cdots\}

Vient ensuite \omega\cdot 3=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},\cdots,\omega,\omega+1,\omega+2,\cdots,\omega\cdot 2\}

etc.

On peut encore continuer avec \omega^2, \omega^3, \cdots, \omega^{\omega}, \cdots, \omega^{\omega^{\omega}}, \cdots, etc.

Vertigineux, n’est-ce pas ?

Plus visuellement :

Compter jusqu’à l’infini : les nombres infinis cardinaux

Nous avions vu que les nombres entiers cardinaux et ordinaux étaient égaux. Chaque cardinal étant défini comme le nombre d’éléments de l’ensemble définissant l’ordinal correspondant. Et bien en réalité les nombres cardinaux sont définis, toujours grâce à la notion d’équipotence (ensembles en bijections ou “contenant le même nombre d’éléments”) ainsi :

Définition : Le cardinal d’un ensemble est le plus petit ordinal avec lequel cet ensemble est équipotent.

Puisque les ensembles définissant les entiers ordinaux et cardinaux sont équipotents, on a bien l’égalité des deux. Mais qu’en est-il des ensembles infinis ?

Le plus petit cardinal infini, noté \aleph_0, est le nombre d’éléments de l’ensemble des entiers \{0,1,2,3,4,\cdots\} et si l’on remplace chaque entier par son représentant en termes d’ensembles, c’est le nombre d’éléments de \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},\cdots\}, soit \omega.

On a donc \aleph_0=\omega.

Attention : \aleph_0 égale \omega, mais ses propriétés sont différentes, elles ne sont pas liées à l’ordre, mais à la cardinalité, comme nous le rappelle cette représentation visuelle :

Représentation visuelle du premier cardinal transfini \aleph_0, grossièrement un “\omega désordonné”.

Et pour les suivants, cela se complique un peu. Le cardinal transfini suivant, noté \aleph_1, n’est pas \omega+1. Pourquoi ? Parce que \omega et \omega+1 sont équipotents. Ils contiennent le même nombre d’éléments. Impossible, me direz-vous, puisque \omega+1 contient un élément de plus que \omega ! Oui, c’est vrai, mais ajouter à un infini cardinal un élément ne change pas sa quantité, qui reste le même infini cardinal… C’est le paradoxe de l’hôtel de Hilbert.

L’hôtel de Hilbert, ou la partie égale au tout

Cette experience de pensée est généralement attribuée au mathématicien David Hilbert (1862 – 1943). Imaginons un hôtel comportant un nombre infini de chambres. Supposons que toutes ces chambres soient occupées et qu’un client supplémentaire se présente à l’accueil de l’hôtel. Malgré le fait qu’il soit complet, il est possible de libérer une chambre sans qu’aucun client n’ait à quitter l’hôtel !

Pour cela, il suffit au réceptionniste de demander à chaque occupant de changer de chambre en passant à la chambre suivante : puisque l’hôtel est infini, tout le monde trouvera de la place et la première chambre sera disponible pour le nouveau client…

Bien sûr il est possible de réitérer l’expérience avec autant de nouveaux clients que nécessaire. Plus surprenant encore, même une infinité de nouveaux clients peuvent y trouver leur place ! Pour cela, le réceptionniste n’a qu’à demander à chaque occupant d’une chambre n de passer à la chambre 2n. Ainsi les occupants seront dans les chambres paires, et l’infinité de nouveaux arrivants pourra s’installer dans les chambres impaires.

En fait, ce procédé n’est possible que pour une infinité dénombrable, c’est à dire autant que de nombres entiers, relatifs ou rationnels (voir l’épisode précédent sur les nombres rationnels pour plus de détails sur la dénombrabilité).

Ainsi l’arithmétique de l’infini est très particulière. Si ajouter 1 à un infini ordinal donne un nouvel ordinal, \omega+1 étant strictement plus grand que \omega, ajouter 1 à un cardinal infini ne le change pas :

\aleph_0+1=\aleph_0.

Du coup quel que soit l’entier n on a \aleph_0+n=\aleph_0, et même \aleph_0+\aleph_0=\aleph_0\times\aleph_0=\aleph_0^{n}=\aleph_0.

Ces règles d’arithmétique sont valables pour tous les cardinaux transfinis.

Traduction : on peut augmenter indéfiniment un infini ordinal sans changer son cardinal, c’est pourquoi le cardinal suivant sera un ordinal beaucoup plus grand que l’ordinal suivant.

On définit \aleph_1 comme étant le cardinal de l’ensemble des ordinaux dénombrables, c’est aussi l’ordinal noté \omega_1. Notons que cet ensemble est le plus petit ensemble non-dénombrable, et qu’il n’apparait pas sur l’image précédente représentant les ordinaux transfinis car il est beaucoup trop grand.

\aleph_0 est le cardinal de \mathbb N l’ensemble des nombres entiers, mais aussi de \mathbb Z, \mathbb Q et plus généralement de tous les ensembles infinis dénombrables.

Le cardinal de l’ensemble des nombres réels est 2^{\aleph_0}. C’est un infini non-dénombrable.

A-t-on l’égalité \aleph_1=2^{\aleph_0} ? C’est l’hypothèse du continu, et la réponse est… Oui et non. Oui car supposer cette hypothèse ne contredirait pas la théorie des ensembles, et non car sa négation serait tout aussi cohérente ! C’est un exemple célèbre d’indécidable.

Le secret que l’on vous cache : L’infini n’est pas l’absence de borne !

La plupart des dictionnaires définissent l’infini comme étant l’absence de limite, de borne. Wikipedia aussi :

Ceci n’est malheureusement pas correct. Cette définition correspond plutôt au terme “illimité”, qui est bien distinct de la notion d’infini en mathématiques.

D’après Bernard Riemann :

Bernhard Riemann, « Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie », Mémoires de la Société royale des sciences de Göttingue, t. XIII ; 1867 OEuvres de Riemann, 2ème édition, 1854, traduction J. Houël, p295.

Prenons un exemple géometrique, facile à visualiser : une sphère. Une telle surface est manifestement finie, puisque l’on peut la remplir entièrement de plus petites surfaces d’une taille fixée : on peut calculer son aire, donnée par la formule bien connue 4\pi \times R^2.

Mais cette surface est aussi illimitée : nous savons depuis longtemps que la terre n’a pas de bord, et que l’on pourrait la parcourir indéfiniment sans jamais rencontrer de limite à nos déplacements !

Pas convaincu par cet exemple ? Ne me faites pas confiance, mais vous pouvez croire la personne qui est à l’origine de cet exemple, Albert Einstein décrit brillamment cette distinction dans son article “La géométrie et l’expérience”, imprimé par Gauthier-Villars, Paris, 1921 et issu de son discours donné à l’Académie des sciences de Berlin, 27 janv 1921 (ou dans son ouvrage “La théorie de la relativité restreinte et générale”, Dunod, Paris, 1999, traduit d’après la 14ème édition Allemande, 1ère édition 1916).

Mais alors, qu’est-ce que l’infini de l’analyse si ce n’est pas l’absence de limite ?

L’infini de l’analyse

Tout d’abord, un peu d’histoire

Pour les gens non versés dans l’arithmétique transfinie, la notion d’infinie est liée à un seul symbole : la lemniscate \infty. Celui-ci est en effet le premier symbole désignant l’infini à avoir été universellement employé. Il a été introduit par le mathématicien anglais John Wallis (1616 – 1703) en 1655 (dans son “De sectionibus conicis”, Pars I, Prop.1, et Opera mathematica, vol 1, p297, Oxford, 1695).

Son utilisation la plus commune (il y en a eu d’autres) a été popularisée par K. Weierstrass (1815 – 1897) dans sa théorie des fonctions. Il signifiait à la fois un infini actuel lorsque utilisé sans signe, et une limite (dédoublée en deux variantes +\infty et -\infty).

Georg Cantor (1845 – 1918) qui devisa la théorie des transfinis, l’utilisa avant de le remplacer par \omega, car le symbole \infty désignait déjà dans la littérature une quantité infinie “indéterminée” (source Florian Cajori, History of mathematical notations, vol II, Cossimo New-York, 2007, p42).

John Wallis Source MacTutor History of Mathematics

Georg Cantor Source Wikipedia

Karl Weierstrass Source inconnue

Nous allons donc maintenant voir le sens exact de la lemniscate, dans différents contextes (parfois compliqués donc courage aux lecteurs novices en mathématiques, et ce qui suit sera simplifié, donc pardon d’avance aux matheux initiés pour le manque de précision) le point principal à bien comprendre étant que \infty n’est généralement pas un nombre !

Une des principales difficultés des mathématiques est de réussir à faire abstraction de toutes les significations préconçues attachées à un symbole, pour lui donner des sens différents selon le contexte. Ce symbole infini en est un exemple flagrant.

L’infini indéterminé de l’analyse et des limites

Trois utilisations différentes sont faites de l’infini en analyse :

\star\quad Une notation pratique
Lorsque l’infini est utilisé comme “borne” d’une somme, d’un produit ou d’une intégrale définie sur \mathbb R comme par exemple \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt ou \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f(n) cela désigne simplement l’ensemble des nombres réels (resp. des entiers positifs). On peut noter \mathbb R=]-\infty, +\infty[, et nous n’avons absolument rien ajouté à l’ensemble \mathbb R puisque les crochets inversés signifient que les deux infinis ne sont pas compris dans l’ensemble.
En fait les sommes précédentes pourraient tout aussi bien s’écrire \displaystyle\int_{\mathbb R}f(t)dt ou \displaystyle\sum_{\mathbb N}f(n) sans utiliser le symbole de l’infini.
C’est seulement un moyen commode de dire que l’on prend tous les nombres réels dans le premier cas et tous les nombres entiers positifs dans le second, et que les opérations sont effectuées sur tous les éléments. Bien entendu cela sous-entend qu’une telle manipulation sur une infinité d’éléments est possible et donc d’une certaine façon que cette pratique nécessite un concept d’infini actuel, mais cela ne change pas nos affaires. Nous n’utilisons pas de nombres infinis ici, juste des notations pratiques. Probablement un abus de notation (on sous-entend que \mathbb R est inclu dans [-\infty, +\infty] ce qui n’est pas défini dans ce contexte), mais qui n’entraîne aucune conséquence dans les calculs.

\star\quad Sur la droite réelle achevée \overline{\mathbb R}=\mathbb R\bigcup\{-\infty,+\infty\}, les infinis ajoutés sont bel et bien des nombres, mais ils ne sont pas déterminés : ces infinis ne sont ni \omega, ni \aleph, ni aucun de leurs “confrères” spécifiquement, ils les représentent tous. Attention, cela ne veut pas dire que +\infty est le super-infini les contenant tous en utilisant les définitions précédentes de la théorie des ensembles, car il n’existe pas d’ensemble de tous les ordinaux ou d’ensemble de tous les cardinaux, de la même façon qu’il n’existe pas d’ensemble de tous les ensembles. Leurs existences seraient contradictoire, et donc il faut utiliser un concept différent de “classe” ou “pré-classe”, mais nous sortons du sujet. Pourquoi sont-ce des nombres infinis encore différents ?Lorsque l’infini est le résultat d’un calcul du type \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f(n)=+\infty nous avons bien ici un nombre (puisque nous n’avons fait qu’ajouter des nombres), mais il n’est généralement pas considéré comme tel en analyse classique. Il ne fait que désigner le concept de “divergence”, par opposition à la notion de convergence. Si l’on somme une infinité de nombres et que l’on obtient au total un nombre fini, on dit que la série de nombres converge. Dans le cas contraire, elle diverge. Dire que la somme est égale à l’infini n’est pas un abus de langage, mais manque de précision : s’agit-il d’un infini dénombrable ? non-dénombrable ? Si nous sommons des nombres entiers, relatifs ou rationnels, le résultat sera un infini dénombrable (l’union dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable grâce à l’axiome du choix), mais lequel puiqu’il y a une infinité d’infinis ordinaux dénombrables ? Si nous sommons sur un intervalle de la droite réelle, en cas de divergence nous aurons une somme infinie non dénombrable, donc un infini différent. Pourtant nous notons +\infty dans les deux cas ! Tout simplement car la distinction est une complication qui n’est pas utile dans le simple contexte de la divergence. Maintenant que se passe-t-il lorsque l’on doit effectuer des calculs avec ces deux infinis ? Et bien puisque nous ignorons quel est leur “degré de transfinitude” (attention ceci est un néologisme), dans la plupart des cas le résultat est inconnu, ou pour être plus rigoureux “non-défini”. +\infty -\infty, \dfrac{\infty}{\infty} ne sont pas définis, tout comme la division par zéro. En revanche, 0\times\infty est bien défini et vaut 0, puisque c’est le cas aussi bien pour les nombres ordinaux que cardinaux, qu’ils soient finis ou transfinis.

\star\quad A priori, le calcul des limites étant généralement effectué sur la droite réelle achevée, le même contexte s’applique, et les mêmes calculs devraient s’opérer, non ? Absolument pas ! Les éléments de la droite réelle achevée sont utilisés, mais leur rôle est bien différent, leur nature et leur sens l’est aussi :
Une limite n’est pas la valeur d’une fonction, et n’est pas nécessairement un nombre !
par exemple, une fonction peut tendre vers un nombre tout en lui étant inférieur, ou tendre vers ce même nombre tout en lui étant supérieur. Ces limites ne sont pas les mêmes…Qu’est-ce qu’une limite ? Attention aux allergiques de la formule, ça va faire mal :
Dire qu’une fonction tend vers une limite L lorsque x tend vers y, ce que l’on note \displaystyle\lim_{x\to y}f(x)=L, est définit ainsi :

En français, si x se rapproche de y (à \eta près) alors f(x) se rapproche de L (à \epsilon près). Vous pensez bien qu’avec une définition pareille, on ne peut pas ajouter ou multiplier des limites comme bon nous semble…
Ainsi lorsque les limites sont finies, pas de problème la limite de la somme de fonctions est la somme des limites, la limite du produit de fonctions est le produit des limites, MAIS dès que 0 et \infty pointent leur nez, les ennuis commencent !
Nous notons par commodité l’opération que nous aurions effectué si ces limites étaient finies, mais c’est un abus de langage, puisque l’on n’effectue en aucun cas ces opérations. Pourquoi ? Parce que nous ne faisons pas de l’arithmétique transfinie, et 0\times \infty par exemple n’est pas défini. Ce n’est pas un produit de nombres, c’est un produit de limites. Il faut comprendre cela ainsi : la limite du produit d’une fonction qui tend vers 0 par une fonction qui tend vers \infty est indéterminée. Ce n’est ni le produit, ni la somme, ni quoi que ce soit d’autre, il n’y a pas de méthode de calcul pour déterminer cette limite à partir des deux autres, il manque des informations. Dans certains cas cela peut être 0, parfois \infty, parfois même un nombre fini. Tout dépend des fonctions en question.

Il est possible d’ajouter à \mathbb R non plus seulement deux infinis indéterminés, mais tous les nombres transfinis. Nous sortirions alors du cadre de l’analyse classique et travaillerions dans une théorie encore bien différente…

Le point à l’infini, ou point de fuite

Lorsque l’infini est utilisé en tant que valeur mathématique – valeur d’une fonction comme f(\infty)=\infty par exemple, il s’agit d’un élément ajouté à l’ensemble de définition de la fonction “pour le compléter”. Dans le cas où l’on complète l’ensemble des nombres réels, on a alors l’ensemble \mathbb R\bigcup\{\infty\}, et selon la structure qu’on lui donne, cet ensemble est régi par des règles différentes :

\star\quad Si on lui ajoute une structure topologique nous avons ce qui s’appelle un compactifié d’Alexandrov. C’est alors un espace topologique équivalent à un cercle, on a “refermé” la droite réelle. On ne peut toujours pas parler de nombre, mais seulement d’éléments, d’ouverts, et d’ensembles. Les fonctions définies sur cet espace ne sont pas des fonctions à valeur réelle ! Typiquement, nous avons alors affaire à un espace projectif, dans lequel \infty n’est qu’un point particulier, et f(\infty)=\infty signifie simplement que ce point est fixe pour la fonction f. Aucune notion de nombre n’est en jeu ici, ni nombre naturel, ni réel, ni infini ou transfini.

\star\quad Si on lui ajoute une structure de groupe, c’est à dire grossièrement si l’on définit une opération sur cet ensemble, mettons +, on ne parle toujours pas de nombre pour autant ! Cela devient compliqué – et ce n’est pas le but de ce post – mais nous pouvons résumer la situation en décrivant ses éléments comme des transformations linéaires, à homothétie près, des transformations projectives en fin de compte.

\star\quad On peut aussi lui ajouter une opération supplémentaire, un produit, mais on travaillera toujours dans un espace projectif, et on sera alors très loin d’un corps algébrique, on ne fait pas des opérations avec ces éléments comme avec des nombres…

Pour résumer ces trois exemples, ajouter un point aux nombres réels change complètement sa structure, qu’on l’appelle point à l’infini, point fixe ou point de fuite, et même s’il est désigné par le même symbole \infty ce n’est pas un nombre.

Finalement, c’est quoi l’infini ?

Pour clore ce chapitre, résumons un peu les choses : il existe plusieurs types d’infinis différents, chacun obéissant à ses propres règles, tous sont consistants et n’entraînent aucune contradiction. Ce n’est pas juste l’absence de limite, comme nous l’avons rappelé.

Ce sont parfois des points d’un espace, des éléments d’un ensemble, ou d’autres concepts encore, bien différents des nombres.

Ce sont parfois des nombres qui échappent à notre représentation : impossible de réunir dans notre monde physique, sous nos yeux, ou même dans notre imagination, les ensembles qu’ils représentent car notre monde et notre esprit sont limités par un nombre fini de neurones, de cellules, de molécules, d’atomes…

Certes, ils sont déroutants, paradoxaux mêmes, parfois indécidables… mais cela veut simplement dire qu’ils ne nous sont pas familiers, et qu’il faut un effort considérable pour les appréhender et les manipuler. Finalement, ils sont à la base de tout un univers fascinant et dont l’immensité nous dépasse infiniment !

Articles précédents sur le thème «Qu’est-ce qu’un nombre ?»

Episode 1 : les nombres entiers naturels

Episode 2 : les nombres entiers relatifs

Episode 3 : les nombres rationnels

Crédits images :

Buzz l’éclair : renders-graphiques.fr

2\infty&< Tee-shirt : tshirtroundup.com