Les tenseurs pour les nuls

Niveau de difficulté    

Si vous êtes ici, c’est que vous n’aimez pas les formules et les calculs compliqués, mais que vous êtes quand même curieux de savoir ce qu’est un tenseur. Quoi qu’on en dise dans la vie quotidienne, la curiosité est une grande qualité en sciences, elle permet de développer ses connaissances et sa compréhension du monde !

On va donc faire un tour rapide de ce concept, de la manière la plus simple possible. Forcément, il y aura de grosses approximations, donc si certains passages vous font grincer les dents, c’est que vous n’êtes pas sur la bonne page, voyez le lien en fin d’article vers l’article détaillé et plus rigoureux.

Comment calcule-t-on la longueur d’un vecteur ?

Vecteur

C’est simple, on utilise Pythagore. La longueur au carré d’un vecteur sera donc \|\vec v\|^2=x^2+y^2
Si x=y=1 on a alors \|\vec v\|^2=1^2+1^2=2 donc \|\vec v\|=\sqrt2 \approx 1.41

(ou -\sqrt2 mais les longueurs négatives c’est pas super pratique).

Facile. Maintenant comment fait-on si les axes ne sont pas perpendiculaires ?
(on dit que la base n’est plus orthonormée)

Vecteur dans une base écrasée

Maintenant on a y\approx 1.15 et x \approx 0.42. Si on utilise la même formule on obtient une longueur de 1.22… Pourtant le vecteur n’a pas changé de longueur pour autant que l’on sache !

La solution à ce problème va demander d’utiliser de nouvelles mesures de coordonnées.

Composantes covariantes et contravariantes

En “écrasant” les axes de notre repère, nous avons perdu la perpendicularité de la base dans laquelle le vecteur est maintenant exprimé. Qu’à cela ne tienne, construisons de nouveaux axes pour compenser cela !

Prenons le premier axe, et construisons un nouvel axe perpendiculaire à celui-ci. Ensuite prenons le second et faisons de même :
composantes covariantes et contravariantes

Note : attention, la couleur des axes sert ici uniquement pour l’effet visuel et non à différencier les deux bases.

Dans le premier repère, notons les composantes v^1 et v^2, ce sont les composantes dites “contravariantes” du vecteur.
Dans le nouveau repère, les composantes sont v^{}_1 et v^{}_2, celles-ci sont appelées composantes “covariantes”.

Tenseurs

Représentation complète des composantes covariantes et contravariantes avec les bases

Je vous passe les détails des calculs, les composantes du vecteur dans ce nouveau repère sont v^{}_1=1 et v^{}_2\approx 1.37.

Ok, maintenant que fait-on de tout ça ?

Et bien nous avons une nouvelle formule pour calculer la longueur du vecteur :

\|\vec v\|^2=v^iv^{}_i=v^1v^{}_1+v^2v^{}_2

On trouve 0.42 \times 1 + 1.15\times 1.37=1.99\approx 2 et on retrouve bien une longueur de \sqrt2.
(évidemment si on utilise les valeurs exactes on trouvera exactement 2)

Norme covariante

Remarque : Image non contractuelle ! Cette animation “simplifie” le concept. Puisque les composantes dépendent de bases différentes (non représentées ici), les rectangles ne sont pas aux bonnes proportions…
Oh et j’ai inversé les composantes par erreur (on s’en fiche, c’est juste pour donner l’idée).

On a donc une méthode pour retrouver la longueur d’un vecteur dans n’importe quel repère. Les physiciens disent alors que la longueur du vecteur est invariante pour toutes les transformations de coordonnées. Pourquoi c’est important ? Parce que cela permet de garantir que les lois physique ne changeront pas lorsqu’on les observera d’un autre endroit ou à une autre date, et même si l’on est en train de se déplacer (en ligne droite et à vitesse constante par contre) !

En réalité, les composantes covariantes du vecteur sont les composantes d’un vecteur identique qui se trouve dans un autre espace vectoriel, en quelque sorte “miroir” de l’espace du vecteur d’origine. On l’appelle l’espace dual. Un tenseur est un objet construit à partir de cette dualité, il “combine” leurs propriétés.

Mon premier tenseur : le vecteur

Un vecteur est un tenseur d’ordre 1. Il existe deux types v^i ou v^{}_i suivant que l’on considère leurs composantes contravariantes ou covariantes (respectivement). Le premier est un vecteur classique, le second est appelé vecteur dual, covecteur ou encore forme linéaire. Pour pouvoir calculer la longueur d’un vecteur dans n’importe quel repère, il faut les deux types de composantes.

Pour calculer les composantes covariantes à partir des composantes contravariantes, il y a deux méthodes : la première consiste à utiliser le produit scalaire, la seconde à utiliser un autre tenseur qui sert de liaison entre les vecteurs et les covecteurs. Celui-ci s’appelle le tenseur métrique.

Le tenseur métrique

Noté g, c’est un tenseur d’ordre 2 (il s’écrit avec 2 indices), et c’est par son opération que l’on passe des composantes dans une base à celles dans sa base duale. Donc lorsque l’on change de repère, c’est ce tenseur qui se charge de définir la correspondance entre les composantes contravariantes et les composantes covariantes. Si l’on multiplie les composantes contravariantes d’un vecteur par g on obtient les composantes covariantes (et inversement avec l’inverse de g).

Notons que g est différent pour chaque “type” de changement de repère.
Ses composantes forment une matrice. Dans le cas d’une base orthonormée (repères perpendiculaires ou la base est de norme 1) c’est la matrice identité, autrement dit il ne change pas les composantes des vecteurs. C’est pour cela que l’on a qu’un seul type de composantes dans une base “classique” faite d’axes perpendiculaires.

Dans la théorie de la relativité restreinte, les changements de repères “écrasent” les bases vectorielles et donc on a besoin du tenseur métrique pour assurer que certaines mesures physiques ne varient pas lors d’un changement d’observateur (une loi physique ne varie pas quand on la “regarde autrement” !).

Pour bien comprendre ce qu’est un tenseur d’ordre 2, voyons comment on peut en construire.

Une construction de tenseurs d’ordre 2

Prenons un vecteur \vec x donc les composantes contravariantes sont x^i=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} et les composantes covariantes x^{}_i=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} ainsi qu’un covecteur \vec y de composantes covariantes y^{}_j=\begin{pmatrix}-3\\8\end{pmatrix} et de composantes contravariantes y^j=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}.

On va construire des matrices en multipliant chaque composante de l’un par les deux composantes de l’autre.

Par exemple en dimension 3 : \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1a&1b&1c\\2a&2b&2c\\3a&3b&3c\end{pmatrix}

\star\quad Cas 1 : En prenant un vecteur et un covecteur.
T^j_i=x^{}_i\otimes y^j=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times 3 & 1\times 4\\2\times 3 & 2\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 4\\6 & 8\end{pmatrix}
Puisqu’on l’a construit avec un vecteur et un covecteur, c’est un tenseur une fois covariant et une fois contravariant. C’est le type de toute matrice “classique”.

\color{blue}{x^i} \color{black}{\otimes} \color{red}{y^{}_j}

\color{red}{x^{}_i} \color{black}{\otimes} \color{blue}{y^j}

Remarque : ce ne sont pas les vecteurs utilisés dans les calculs (pour simplifier la représentation).

\star\quad Cas 2 : En prenant deux vecteurs.
T^{ij}=x^i\otimes y^j=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\times 3 & -1 \times 4\\ 1\times 3 & 1\times 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & -4\\3 & 4\end{pmatrix}
Puisqu’on l’a construit avec deux vecteurs, c’est un tenseur deux fois contravariant. On l’appelle un bivecteur.

\color{blue}{x^i} \color{black}{\otimes} \color{blue}{y^j}

\star\quad Cas 3 : En prenant deux covecteurs.
U^{}_{ij}=x^{}_i\otimes y^{}_j=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}-3\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times -3 & 1 \times 8\\ 2\times -3 & 2\times 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 8\\-6 & 16\end{pmatrix}
Puisqu’on l’a construit avec deux covecteurs, c’est un tenseur deux fois covariant. On l’appelle une forme bilinéaire.

\color{red}{x^{}_i} \color{black}{\otimes} \color{red}{y^{}_j}

Remarques :

\star\quad On vient de faire du calcul tensoriel. Pas si compliqué, finalement !

\star\quad On ne peut pas construire toutes les matrices de cette manière, car on n’obtient que des matrices non-inversibles…

\star\quad Dans le troisième cas on obtient un tenseur U différent de T précisément pour la raison précédente. Du coup si l’on fait le produit x^i\otimes y^{}_j on obtiendra U^i_j.

\star\quad Les représentations visuelles n’apportent pas beaucoup de signification, mais montrent tout de même que ces objets sont différents. Notez que ce ne sont pas des représentations parfaites (entre autres la perpendicularité est approximative pour les besoins de la perspective, des ombres ont été ajoutées pour aider la visualisation, l’orientation des bivecteurs n’est pas représentée, etc.), mais elles permettent d’établir des conventions de représentation pratique : les covecteurs ou formes linéaires en rouge et leurs composantes mesurées sur des axes formant un plan vertical, les vecteurs en bleu dans des axes formant un plan horizontal…

Le tenseur métrique en action

Il change un vecteur en un covecteur : y^{}_j=g^{}_{kj}y^k et un covecteur en vecteur : x^i=g^{ki}x^{}_k.

Il permet également de baisser ou monter les indices de tenseurs de n’importe quel ordre. Ainsi, on peut vérifier que T^{}_{ik}=T^j_ig^{}_{jk} ou encore que U^{ik}=U^i_jg^{jk}.

Ici le tenseur métrique à pour matrice g^{}_{ij}=\begin{pmatrix}-1 & 0\\0 & 2\end{pmatrix} et bien sûr celui-ci est toujours inversible (à vos calculs !).

Mais la propriété la plus importante du tenseur métrique, c’est qu’il est identique pour un tas de changements de bases. Au lieu de travailler avec des vecteurs et tenseurs qui dépendent de la base dans laquelle ils sont exprimés, on pourra complètement ignorer les bases à condition qu’elles aient certaines propriétés communes, car dans ce cas elles engendreront le même tenseur métrique…

Conclusion : Qu’est-ce qu’un tenseur ?

Finalement, un tenseur est beaucoup plus que la simple généralisation du concept de vecteur et de matrice. C’est un objet qui n’est pas autant dépendant de la base dans laquelle il est exprimé que les vecteurs et les matrices. Au lieu de dépendre d’une base précise, il dépendra d’un type de base. Tant que l’on considère des changements de base du même type, on aura un tenseur métrique commun, et ce tenseur métrique permettra de simplifier les calculs en se passant des changements de base.
En particulier, en relativité restreinte et en théorie quantique des champs, toutes les équations doivent être valables même si l’on change de référentiel inertiel. On exprimera donc toutes les lois physiques comme des relations entre tenseurs, et le tour est joué !
En relativité générale par contre, c’est plus compliqué… mais c’est une autre histoire.

Si vous voulez plus de détails sur ce concept, allez jeter un oeil sur l’article détaillé !

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2 Commentaires
  • Patrick
    Publié à 08:37h, 04 novembre

    Je commence à adorer la physique tensorielle. La compréhension des fondamentaux me manquaient.
    Merci.

  • Johann
    Publié à 13:27h, 04 novembre

    Cet article est très (trop ?) simplifié, difficile d’aller au coeur du concept sans les détails techniques… L’article détaillé est plus fait pour ça.
    Merci pour votre commentaire !

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